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三角形の内角の和は180度か?

二週間のご無沙汰でした。SALです。

だいぶ前ですが、SALが数学に興味を持ったきっかけの一つに、高校時代先生から、表題の問い掛けを受けたと話ました。
その後、この件に関して想定外のレスポンスを感じたので、この件で少し補足したいと想います。

表題のような問いに対する反応は、以下の三通りに分けられると思います。
1.「えっ、そうだったの!」
2.「あたり前じゃん!」「なんなら証明しようか?」
3.「おいおい、非ユークリッド幾何学の話でもしたいのかい?」
そこで、[2]の人をターゲットに、簡単な説明を試みたいと思います。([3]の人には、退屈な内容になります)

では、どのような証明になるか、図1を使って一例を述べてみたいと思います。
今、任意の三角形ABCを考え、頂点Aを通り辺BCに平行な直線lを引く。…①
直線l上に頂点Aを挟んで、二点P,Qをとります。(Bに近いほうをPとする)
錯角が等しいことより、角PAB=角CBA 及び 角QAC=角BCA が解ります。
この関係を、内角の和=角BAC+角CBA+角BCA に代入すると、
内角の和=角BAC+角PAB+角QAC=角PAQ
となり、確かに180度であることが解ります。(QED)

一見非の打ちどころの無いように見える証明ですが、①を実行することは可能なのでしょうか?
と言うより、平行線とはどの様な直線で、それは実在するのでしょうか?
ユークリッド原論の第5公準には、
「同一平面上にある交わっていない二線分と双方に交わる直線が合った場合、
相対する二角の和が180度より少ない方(側)に、二線分を延長すると交わる。」
と同等な記述がなされています。図2を見てください。
「α+γ>180>β+δ なので、右(B,D)側に延長すると交わる。」と言う事です。
つまり、この公準を認めた上で、相対する二角の和が180度になるように引くことが、①の条件な訳です。

しかしながら、公準(公理)とある以上、証明された事実ではありません。
そもそも、「延長すると交わるか否か」など空想の世界かも知れません。
角QAC=角BCA となるように直線lを引いても、
第5公準が成り立たなければ、角PAB=角CBA とは断言できません。
そこで、次回は「平行線の公理は自明か?」と題して、その辺りを探ってみたいと思います。

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