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オーディオにおける数学的表現

オーディオ仲間から「Wave File Player 関連のブログは数学的表現が多く解り辛い」とよく言われます。 K’s から数学の必要性について、あれこれ述べたいと思います。
もっとも数学といっても純粋数学ではなく、応用数学のことですので安心してください。

SALさんは物理学と数学は大好きのようですが、実はK’s は数学は嫌いで苦手なのです。  K’s  は若い頃、アンプを設計したり、エンクロージャやネットワークの設計で使う簡単な数学しか縁がなく、数学は大の苦手でした。 ところが15年位前に「ディジタルオーディオに関心を持ちだしたころから、少し数学に興味を持ち始めました」と言うより、「あらゆるディジタルオーディオ関連の書籍が数学的表現で解説してあったため、数学を使わないと理解できなかった」と言うところです。

勿論、Wave File Player を使い音楽を聴くだけであれば、数学のことは何も考えなくても構いません。 ところが、Wave File Player のことを、あれこれ(アルゴリズムのことを)話をするには共通の言葉が必要となります。 その世界共通の言葉が数学なのです。
したがって、Wave File Player で「音楽を聴くだけなら、数学のことを意識しなくても良い」、「うんちくを言いたいならば、数学のことを意識する必要がある」ただそれだけのことです。 何故なら、数学は何よりも論理的、知的な思考や推論の基礎になるので(特にディジタルオーディオには)必須であり縁が切れない訳です。

例えば、音の低い成分、高い成分の大きさをバーグラフ(スペクトル)表示で見ることができるオーディオ機器は既にお馴染みですね。 このスペクトル表示をするには、フーリエ解析という手法で行いますが、元のオーディオ信号は実数ですがフーリエ解析にかけたとたん複素数という値に変換されます。 そのフーリエ変換や逆フーリエ変換では、行列を考える必要がでてきます。 Nサンプルのフーリエ変換はN^2回の乗算とN(N-1)回の加算が必要ですが、その計算はオーダーがN^2となるため、Nが大きくなると計算回数がやたら増えてしまいます。 また、よく使われるディジタルフィルターは乗算、加算、遅延という3つの要素から構成され、計算尽くめです。

現実の問題を数式を用いて、なるべく単純化、理想化して数理モデルの世界で解析して、その結果をフィードバックして現実を理解するとともに予測したりして Wave File Player のプログラム開発を進めています。 SALさんの Wave File Player 解説においても、三次、五次、七次のペジエ曲線、多項式の関数、行列などを用いてますが、数学的表現を使わずにアルゴリズムを解説することは不可能だからです。
難しい数学でなければ、慣れだけだと思います。 Wave File Player のアルゴリズムなどに興味を持たれた方は、少し「数学のことを意識」してみてください。
ディジタルオーディオの世界が大きく広がって楽しくなる筈です。

話は変わりますが、K’s が悩んでいる音質評価は、気分や体調、思いこみのほか、判断する際に変化の度合いに対して「良い方の音から聴いた場合」と「良くない音から聴いた場合」とでは、その結果にヒステリスが生じることが解ってきました。 やっぱり音楽は耳で聴いているのではなく、脳で聴いているようです。