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補間曲線と中点の算出

二週間のご無沙汰でした。SALです。

大震災の復興もままならない中で、このようなお話を始めるべきか迷いつつも、
前々回の続きとして、ペジエ曲線を使った中点座標の求め方について述べることにしました。

式がテキスト形式なので、少しみにくいかもしれませんが、下記のルールでご勘弁ください。
A.べき乗の表現に ^ を使用しました。x^3 は、エックスの3乗を意味します。
B.算出中点に関して対称な位置の標本値は同じ文字を使い、過去側には – 、未来側未は + を添えています。
C.傾きは G を使い、複数の場合は対応する標本値の記号を小文字で添えました。
D.間違って読めそうな部分は、括弧で括りました。
E.掛け算を明示する場合は ・ を、割り算は / を使いました。
では、始めることにします。

何故ペジエ曲線なのか?
前にも述べましたが、古典的な波動方程式が二階の偏微分方程式である以上、その演算が可能でなければなりません。
普通に考えれば「一次導関数が滑らか」が要求されます。百歩譲っても、時間の一次導関数は連続であって欲しいものです。
SALの手法は、標本点間を補間する曲線をそれぞれの区間で求め、それを繋いで全体の波動関数とするものです。
従って、区間境界(ソースの標本点)での傾きが一致していなければお話になりません。
両端の座標と傾きを指定して求まる曲線、それがペジエ曲線です。
傾きの求め方は、これまでも述べてきたので、いきなりペジエ曲線のお話をします。

三次のペジエ曲線
通常ペジエ曲線と言えば、この曲線を指します。
今、隣り合う標本点の中点座標を求めるために、この中点がY軸上になるように、またX軸のスケールはサンプリング周期を単位にします。
求める関数を f(x)、隣り合う左右の標本点の(Y軸の)値を A- A+、その傾きを Ga- Ga+ とすると、
f(-0.5)=A-
f(0.5)=A+
f'(-0.5)=Ga-
f'(0.5)=Ga+     ①
なる関係が要求されます。(X軸のスケールを更に二倍にした方が計算しやすいが、その場合傾きが半分になることに注意!)
f(x)=a・x^3+b・x^2+c・x+d
とおけば、求める中点の座標 d は直ちに計算できて、
d=A-G/4     ②
と、とても簡単な式になります。
ここで、Aは両標本値の平均、Gは傾きの平均変化率の半分(下に凸を正にとった曲がり具合)で、
A={(A+)+(A-)}/2
G={(Ga+)-(Ga-)}/2
と、定義しました。
簡単な演習問題として、与える傾きを両側二近傍の平均傾きで近似した場合、その中点座標を求めてみます。
Ga-={(A+)-(B-)}/2
Ga+={(B+)-(A-)}/2
となるので、①式に代入すると
d=A-{(Ga+)-(Ga-)}/8
=A+{(A+)+(A-)-(B+)-(B-)}/16
=A+(A-B)/8     ③
となり、大元の出発点の式(P08)が導かれました。
(2点平均Aで置き換えるのは論外としても、4点を通る三次曲線や左右2タイプの3点を通る二次曲線の平均でも同じ結果③が得られます)
ここで、B- B+ は更に外側の2標本点であり、Bはその平均値です。
B={(B+)+(B-)}/2
傾き算出の精度を上げることで、低域での近似は充分高まるのですが、
再三述べてきたように、(SALには)高域側でのずれを容認できないことも事実です。

7次の曲線では?
既にご存知のように、SAL達は三次曲線を諦めて、5次も飛ばし7次の曲線を採用することにしました。
①式に相当する関係式は、外側の傾きを、Gb- Gb+ として、
f(-0.5)=A-
f(0.5)=A+
f(-1.5)=B-
f(1.5)=B+
f'(-0.5)=Ga-
f'(0.5)=Ga+
f'(-1.5)=Gb-
f'(1.5)=Gb+     ④
となり、求める関数を
f(x)=a・x^7+b・x^6+c・x^5+d・x^4+e・x^3+f・x^2+g・x+h
とおきます。但し採用する定義域は、A- から A+ 迄です。
求める中点の座標 h は、三次の時に比べれば途中計算はやや面倒ですが
h=A+(B-A)・13/256-Ga・81/256-Gb・9/256     ⑤
Ga={(Ga+)-(Ga-)}/2
Gb={(Gb+)-(Gb-)}/6
となります。
この⑤式による近似精度がほぼ満足できるレベルにあることは、これまでに示してきました。
後は、高精度の傾きを与えるだけです。(P40では32近傍より傾きを近似計算しています)

次回は、リサンプリングの実態を示す為に、7次の拡張ペジエ曲線の全係数についてお話します。
今回はこの辺で、失礼します。

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