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新しい傾き算出法(Hyb2S)について

二週間のご無沙汰でした。SALです。
今回は、新たな計算法(Hyb2S)に至った経緯を中心に紹介します。

超高域特性に優れる(Hyb2K)ですが、中低域での誤差が(Mtx24)に及ばないと言うか、SALの目標値を下回っています。
そこで、(Hyb2K)と(Mtx24)の良い部分を繋ぐなるべく単純な包絡線(envelope)の導出を試みました。
具体的に言うと、高域はショートレンジ、低域はロングレンジの時間スケールで効果的ですから、
① 近場の標本点の扱いが(Hyb2K)的 → 値 2 から非常に緩やかな単調減少をすること。
② 遠方の切断点付近では(Mtx24)的 → 切断点で時間軸に接する下に凸の二次関数とみなせること。
勿論、対象区間[0,2048]で単調減少且つ、交互に -1 を掛けての総和は、1 でなければなりません。

「両端付近での特性を満たす簡単な解析関数を見つける」と言う手法は以前からあるやり方です。
恐れ多い例えですが、プランク(Planck)の黒体輻射の式は、長波長側で等分配則、短波長側でヴィーン(Wien)の式に合わせたものです。
勿論、プランクが真に偉大なのは、その公式の背後にある物理を解明したこと(つまり量子仮説)ですが…。

凡人のSALには、①と②を繋ぐことすら上手くできませんでした。
「夢のお告げ」と言うのは、対象の標本点の数が十分多い場合は、
①が一次ではなく二次の効果から、つまりは”②の反転”でも良いのではないかと言うことだったのです。
これは試す価値があると判断して、”②の反転”を重視して「1+cos(x)」型の補正を試みました。
その結果が、前回報告した内容です。

「1+cos(x)」型の補正が、何故高精度の結果を得るのかは、未だ解っていません。
現時点では、「結果オーライ」の域を出ていませんが、「有限個の離散データという制限」に関係していることは確かだと思います。
(より厳格には、①で一次の効果は僅かに残っているようですが、4桁にも及ぶ標本点を使う場合は無視できる範囲のようです。)
この結果は、演算順序を変え、標本値への前処理と考えると、「1+cos(x)」型の窓関数を施したことに相当します。
但し、結果として関数型が決定されてしまいますので、入り口ではなく出口側ですが…。

SALは、窓関数を「調和解析の必需品」程度にしか思っていなかったのですが、も少し深い関係があるのかもしれません。
尤も、この段階で結論するのは早過ぎます。
目的が異なるとは言え、窓関数とするなら、元の伝播関数に戻って比較する必要が有ります。
今回の補正を H、伝播関数を G とすると、(H・G)’=H’・G+H・G’ となり、演算順序によって異なるように見えるのですが、
肝心の標本点のみに限定すれば、中心点で H’=0、それ以外で G=0 となって、(H・G)’=H・G’ が成立します。
となると、「1+cos(x)」型エンベロープの背後に潜む数理(?)を追求すべきなのかもしれません。

最後に、SALが辿っていった補正関数の形は、
I型(ストレート)→ J型 → S型 と、アームの形状みたいで、何かしら笑えてきます。

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